Гидростатический парадокс внутри аквариума. Невероятно? Закономерно!

Явление, о котором пойдёт речь, способно сбить с толку даже самого здравомыслящего человека. Таким нелогичным оно может показаться. К тому же, в повседневной жизни оно встречается крайне редко, поэтому мало кто сумеет объяснить его природу. Между тем, каждый изучал его в школе на уроках физики…

Чтобы лучше понять суть явления, смоделируем несколько ситуаций из рабочей практики, которые могут иметь место в реальной жизни. Кстати, все цифровые значения, приведённые в примерах, получены в результате точных математических расчетов и вполне достоверны.

Пример 1. Вертикальная тонна воды.

 Итак, представим, будто нам поступило задание сделать аквариум из силикатного стекла. Габаритные размеры: длина — один метр, ширина — полметра, высота – два метра. Объём по габаритам составляет 10 * 5 * 20 дм =1000 л.

Для начала определимся с базовыми параметрами. Толщину стекла выбираем максимальную из возможных – 19 мм. Обязательно качественная полировка кромок. Будем формировать самые надежные клеевые швы, вклеивать рёбра жёсткости, поперечные стяжки… словом, в работе нужно будет применить весь арсенал перестраховок – еще бы, целую тонну воды предстоит поставить вертикально!

После того как клей полностью просохнет, наполним аквариум водой и измерим величину прогиба лицевых стёкол. Он составит 2,52 мм, что довольно много. Если посчитаем коэффициент запаса прочности, получим значение 1,45. Это очень маленький запас – нормальной величиной для аквариумов из отожжённого стекла считается 3,5 — 4.

Пример 2. Объём воды – 200 литров.

Рассмотрим новое задание. Габариты аквариума изменились: длина и высота остались прежними – 1 и 2 м, а ширина уменьшилась в пять раз — до 10 см. Объём по габаритам теперь составляет всего лишь 200 литров, а, если вычесть объём стёкол, то и того меньше.

Включаем логику рядового мастера-склейщика: «в рамках классических пропорций банки такого объёма делаются из стекла 8 мм, но у нас пропорции особенные, поэтому следует перестраховаться. Сделаем двойной запас по толщине – 15 мм».

 Остальное как обычно: полировка, клеевые швы, рёбра, стяжки, две недели на полимеризацию клея…

Начинаем заполнять, попутно контролируя прогиб лицевых стёкол. С удивлением замечаем, что, несмотря на небольшой объём воды, прогиб растет гораздо быстрее чем в предыдущем опыте.

• При уровне воды 120 см стекла выгибаются уже примерно на 2 мм
• при полутора метрах – на 3 мм
• при 180 см – на 4 мм
• Заливаем до верхнего края. Имеем прогиб в середине более 5 мм. Это очень много!

Считаем коэффициент запаса прочности — 0,9 – меньше единицы – критически мало. Стекло работает на пределе! Такой аквариум может лопнуть в любую минуту – срочно сливаем.

Пример 3. Объём воды – 2 литра.

Имеем новое задание, новые размеры аквариума. Длина, высота прежние, а вот ширина… в общем, на этот раз требуется, чтобы расстояние между лицевыми стёклами составляло 1 мм. При таком раскладе конечный результат будет больше походить на однокамерный стеклопакет, чем на аквариум.

 А что с объёмом воды? Считаем, 10 * 20 * 0,01 дм, получаем 2 литра.

Настало время определиться с толщиной стекла. Какой толщины будет достаточно? В голове сама собой всплывает простая аналогия – опертый краями лист стекла, в центре которого стоит двухлитровая бутылка с водой. Казалось бы, такой смехотворный вес выдержит даже стекло-тройка. Но мы, наученные горьким опытом, теперь намерены как следует перестраховаться: будем делать наш аквариум-стеклопакет не с двойным, а сразу с тройным запасом по толщине – из стекла толщиной 10 мм!

Клеим, ждем, заполняем с контролем прогиба (хотя какой прогиб может вызвать два литра воды у 10-мм стекла, сотые доли миллиметра?)

Тем не менее, проверяем и… не верим своим глазам:

• при уровне воды 1 м – прогиб более 4 мм!
• при 120 см – более 6 мм.
• при 140 см и прогибе 8 мм стекло лопается…

Невероятно? Нет – закономерно!

Принцип, лежащий в основе перечисленных примеров, описан почти четыреста лет назад французским учёным Блезом Паскалем. Явление, при котором ничтожный объём жидкости способен создавать огромную силу, называется Гидростатическим парадоксом. Паскаль когда-то вполне наглядно его продемонстрировал, заставив прочную дубовую бочку, скреплённую железными обручами, лопнуть под воздействием одной кружки воды. Вы наверняка помните этот пример из школьной программы, а те, кто забыл, смогут прочитать его описание в конце статьи под спойлером.

Суть учения Паскаля (применительно к нашим примерам) такова: давление воды на дно сосуда зависит только от высоты водяного столба и не зависит от формы этого сосуда, поэтому неважно какой объём воды вмещает в себя этот сосуд – один литр или тысячу тонн. При одинаковом уровне воды давление будет одинаковым.

Внутри аквариума вода давит не всем своим весом сразу, а по принципу: чем глубже — тем сильнее. На уровне дна давление такое, как если бы над этой точкой стоял водяной столб высотой 2 метра. И не имеет значения, широкий этот столб или узкий, как бритва.

Сила, действующая на одно лицевое стекло, — это интеграл давления по площади:

$$F = \int p\,dA \approx p_\text{ср} \cdot S.$$

При заполнении до верха

$$p_\text{ср} \approx \frac12 \rho g H \approx 9800\,\text{Па},$$

$$S = 2\,\text{м}^2,$$

поэтому

$$F = 9800\,\text{Па} \times 2\,\text{м}^2 = \mathbf{19600}\,\text{Н}.$$

19600 Н — это примерно 2 тонны!

Эти две тонны — совсем не вес воды. Это сила давления, которая передаётся через жидкость — именно эта сила и выгибает стекло наружу.

В наших примерах все три аквариума испытывают одинаковое давление, распирающее стёкла изнутри, поэтому при грамотном подходе и при условии заполнения их водой до верхнего края, лицевые стёкла у них должны быть одинаковой — максимальной толщины (в нашем случае, как минимум, 19 мм). При этом прогиб стёкол у всех трех аквариумов будет одинаковым несмотря на то, что объёмы отличаются в сотни раз.

Гидростатический парадокс имеет место всегда. Даже если бы зазор между стёклами составлял один микрон, а объём аквариума соответственно 2 миллилитра… впрочем, при таких малых величинах внутри емкости начнут уже доминировать капиллярные эффекты, такие как поверхностное натяжение, смачивание, возможные разрывы плёнки и классическая формула перестанет быть точной. Поэтому в нашей аквариумной практике для простоты будем оставаться в реалистичном диапазоне величин.

Кстати, микронные зазоры тоже нужно обязательно учитывать в проектировании конструкций, но только там, где они имеют значение. Например, при возведении плотин, под подошвой плотины инженеры-конструкторы обязательно предусматривают дренажи и противофильтрационные завесы. Иначе плотина может сдвинуться на водяной подушке или даже опрокинуться. Это еще один удивительный пример Гидростатического парадокса Паскаля: плёнка воды, объёмом в несколько литров создает под плотиной многотонную подъёмную силу.

Теперь вам должно быть понятно, почему в таблицах толщин аквариумных стёкол фигурирует только две величины: высота и длина.  Потому что гидростатическое давление воды на любую точку лицевого стекла определяется только глубиной:

$$p = \rho g h.$$

где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба воды над точкой.

Ширина (глубина) аквариума в эту формулу не входит. Когда емкость заполнена до верхнего края, распределение давления по высоте лицевых стёкол остаётся одинаковым независимо от того сколько миллиметров составляет ширина —  500, 100 или 1.

Опыт с бочкой Паскаля (1646)

Считается, что Паскаль вставил в герметично закрытую бочку, полную воды, длинную тонкую трубку и залил в неё немного воды. Бочка лопнула.

Разберемся, почему так произошло.

Детали (высота трубки, объём воды) в разных источниках пересказываются по-разному, поэтому будем считать цифры, приведённые ниже, иллюстрацией, а не историческим фактом.

Возьмём трубку высотой 10 м и сечением 1 см² (10⁻⁴ м²):

• вода в трубке: V = 10⁻⁴ · 10 = 10⁻³ м³ = 1 л, то есть всего около 1 кг;
• добавочное давление: p = 1000 · 9,81 · 10 = 98 100 Па ≈ 0,98 бар, примерно ещё одна атмосфера;
• крышка бочки диаметром 50 см: A = π · 0,25² ≈ 0,196 м²;
• сила на крышку: F = 98 100 · 0,196 ≈ 19 300 Н, то есть около 19 кН. Это вес примерно двух тонн.

Один килограмм воды в тонкой трубке создаёт силу, сопоставимую с весом двух тонн. Бочка не выдерживает именно из-за давления, а не из-за массы воды.

Историческая неточность

Явление Гидростатического парадокса впервые было описано фламандским учёным Симоном Стевином в конце XVI века, а Паскаль обобщил его и связал с законом передачи давления в жидкостях (закон Паскаля). Название «гидростатический парадокс Паскаля» закрепилось за явлением, хотя первым его заметил не он. Многие до сих пор считают, что парадокс открыл Паскаль, хотя на деле он, скорее, его красиво сформулировал и популяризировал.