Явление, о котором пойдёт речь, способно сбить с толку даже самого здравомыслящего человека. Таким нелогичным оно может показаться. К тому же, в повседневной жизни оно встречается крайне редко, поэтому мало кто сумеет объяснить его природу. Между тем, каждый изучал его в школе на уроках физики…

Чтобы лучше понять суть явления, смоделируем несколько ситуаций из рабочей практики, которые могут иметь место в реальной жизни. Кстати, все цифровые значения, приведённые в примерах, получены в результате точных математических расчетов и вполне достоверны.

Пример 1. Вертикальная тонна воды.

 Итак, представим, будто нам поступило задание сделать аквариум из силикатного стекла. Габаритные размеры: длина — один метр, ширина — полметра, высота – два метра. Объём по габаритам составляет 10 * 5 * 20 дм =1000 л.

Для начала определимся с базовыми параметрами. Толщину стекла выбираем максимальную из возможных – 19 мм. Обязательно качественная полировка кромок. Будем формировать самые надежные клеевые швы, вклеивать рёбра жёсткости, поперечные стяжки… словом, в работе нужно будет применить весь арсенал перестраховок – еще бы, целую тонну воды предстоит поставить вертикально!

После того как клей полностью просохнет, наполним аквариум водой и измерим величину прогиба лицевых стёкол. Он составит 2,52 мм, что довольно много. Если посчитаем коэффициент запаса прочности, получим значение 1,45. Это очень маленький запас – нормальной величиной для аквариумов из отожжённого стекла считается 3,5 — 4.

Пример 2. Объём воды – 200 литров.

Рассмотрим новое задание. Габариты аквариума изменились: длина и высота остались прежними – 1 и 2 м, а ширина уменьшилась в пять раз — до 10 см. Объём по габаритам теперь составляет всего лишь 200 литров, а, если вычесть объём стёкол, то и того меньше.

Включаем логику рядового мастера-склейщика: «в рамках классических пропорций банки такого объёма делаются из стекла 8 мм, но у нас пропорции особенные, поэтому следует перестраховаться. Сделаем двойной запас по толщине – 15 мм».

 Остальное как обычно: полировка, клеевые швы, рёбра, стяжки, две недели на полимеризацию клея…

Начинаем заполнять, попутно контролируя прогиб лицевых стёкол. С удивлением замечаем, что, несмотря на небольшой объём воды, прогиб растет гораздо быстрее чем в предыдущем опыте.

• При уровне воды 120 см стекла выгибаются уже примерно на 2 мм
• при полутора метрах – на 3 мм
• при 180 см – на 4 мм
• Заливаем до верхнего края. Имеем прогиб в середине более 5 мм. Это очень много!

Считаем коэффициент запаса прочности — 0,9 – меньше единицы – критически мало. Стекло работает на пределе! Такой аквариум может лопнуть в любую минуту – срочно сливаем.

Пример 3. Объём воды – 2 литра.

Имеем новое задание, новые размеры аквариума. Длина, высота прежние, а вот ширина… в общем, на этот раз требуется, чтобы расстояние между лицевыми стёклами составляло 1 мм. При таком раскладе конечный результат будет больше походить на однокамерный стеклопакет, чем на аквариум.

 А что с объёмом воды? Считаем, 10 * 20 * 0,01 дм, получаем 2 литра.

Настало время определиться с толщиной стекла. Какой толщины будет достаточно? В голове сама собой всплывает простая аналогия – опертый краями лист стекла, в центре которого стоит двухлитровая бутылка с водой. Казалось бы, такой смехотворный вес выдержит даже стекло-тройка. Но мы, наученные горьким опытом, теперь намерены как следует перестраховаться: будем делать наш аквариум-стеклопакет не с двойным, а сразу с тройным запасом по толщине – из стекла толщиной 10 мм!

Клеим, ждем, заполняем с контролем прогиба (хотя какой прогиб может вызвать два литра воды у 10-мм стекла, сотые доли миллиметра?)

Тем не менее, проверяем и… не верим своим глазам:

• при уровне воды 1 м – прогиб более 4 мм!
• при 120 см – более 6 мм.
• при 140 см и прогибе 8 мм стекло лопается…

Невероятно? Нет – закономерно!

Принцип, лежащий в основе перечисленных примеров, описан почти четыреста лет назад французским учёным Блезом Паскалем. Явление, при котором ничтожный объём жидкости способен создавать огромную силу, называется Гидростатическим парадоксом. Паскаль когда-то вполне наглядно его продемонстрировал, заставив прочную дубовую бочку, скреплённую железными обручами, лопнуть под воздействием одной кружки воды. Вы наверняка помните этот пример из школьной программы, а те, кто забыл, смогут прочитать его описание в конце статьи под спойлером.

Суть учения Паскаля (применительно к нашим примерам) такова: давление воды на дно сосуда зависит только от высоты водяного столба и не зависит от формы этого сосуда, поэтому неважно какой объём воды вмещает в себя этот сосуд – один литр или тысячу тонн. При одинаковом уровне воды давление будет одинаковым.

Внутри аквариума вода давит не всем своим весом сразу, а по принципу: чем глубже — тем сильнее. На уровне дна давление такое, как если бы над этой точкой стоял водяной столб высотой 2 метра. И не имеет значения, широкий этот столб или узкий, как бритва.

Сила, действующая на одно лицевое стекло, — это интеграл давления по площади:

$$F = \int p\,dA \approx p_\text{ср} \cdot S.$$

При заполнении до верха

$$p_\text{ср} \approx \frac12 \rho g H \approx 9800\,\text{Па},$$

$$S = 2\,\text{м}^2,$$

поэтому

$$F = 9800\,\text{Па} \times 2\,\text{м}^2 = \mathbf{19600}\,\text{Н}.$$

19600 Н — это примерно 2 тонны!

Эти две тонны — совсем не вес воды. Это сила давления, которая передаётся через жидкость — именно эта сила и выгибает стекло наружу.

В наших примерах все три аквариума испытывают одинаковое давление, распирающее стёкла изнутри, поэтому при грамотном подходе и при условии заполнения их водой до верхнего края, лицевые стёкла у них должны быть одинаковой — максимальной толщины (в нашем случае, как минимум, 19 мм). При этом прогиб стёкол у всех трех аквариумов будет одинаковым несмотря на то, что объёмы отличаются в сотни раз.

Гидростатический парадокс имеет место всегда. Даже если бы зазор между стёклами составлял один микрон, а объём аквариума соответственно 2 миллилитра… впрочем, при таких малых величинах внутри емкости начнут уже доминировать капиллярные эффекты, такие как поверхностное натяжение, смачивание, возможные разрывы плёнки и классическая формула перестанет быть точной. Поэтому в нашей аквариумной практике для простоты будем оставаться в реалистичном диапазоне величин.

Кстати, микронные зазоры тоже нужно обязательно учитывать в проектировании конструкций, но только там, где они имеют значение. Например, при возведении плотин, под подошвой плотины инженеры-конструкторы обязательно предусматривают дренажи и противофильтрационные завесы. Иначе плотина может сдвинуться на водяной подушке или даже опрокинуться. Это еще один удивительный пример Гидростатического парадокса Паскаля: плёнка воды, объёмом в несколько литров создает под плотиной многотонную подъёмную силу.

Теперь вам должно быть понятно, почему в таблицах толщин аквариумных стёкол фигурирует только две величины: высота и длина.  Потому что гидростатическое давление воды на любую точку лицевого стекла определяется только глубиной:

$$p = \rho g h.$$

где $\rho$ — плотность воды, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота столба воды над точкой.

Ширина (глубина) аквариума в эту формулу не входит. Когда емкость заполнена до верхнего края, распределение давления по высоте лицевых стёкол остаётся одинаковым независимо от того сколько миллиметров составляет ширина —  500, 100 или 1.

Опыт с бочкой Паскаля (1646)

Считается, что Паскаль вставил в герметично закрытую бочку, полную воды, длинную тонкую трубку и залил в неё немного воды. Бочка лопнула.

Разберемся, почему так произошло.

Детали (высота трубки, объём воды) в разных источниках пересказываются по-разному, поэтому будем считать цифры, приведённые ниже, иллюстрацией, а не историческим фактом.

Возьмём трубку высотой 10 м и сечением 1 см² (10⁻⁴ м²):

• вода в трубке: V = 10⁻⁴ · 10 = 10⁻³ м³ = 1 л, то есть всего около 1 кг;
• добавочное давление: p = 1000 · 9,81 · 10 = 98 100 Па ≈ 0,98 бар, примерно ещё одна атмосфера;
• крышка бочки диаметром 50 см: A = π · 0,25² ≈ 0,196 м²;
• сила на крышку: F = 98 100 · 0,196 ≈ 19 300 Н, то есть около 19 кН. Это вес примерно двух тонн.

Один килограмм воды в тонкой трубке создаёт силу, сопоставимую с весом двух тонн. Бочка не выдерживает именно из-за давления, а не из-за массы воды.

Какое стекло прочнее, триплекс или монолитное такой же толщины? Сегодня мы досконально разберёмся в этом непростом вопросе.

Поступила заявка на расчёт стоимости аквариума размером 1200 × 500 × 1000 мм. Последний размер — высота. С технической точки зрения всё было понятно. Вопросы вызывала другая составляющая — материальная. В нашем городе отсутствовало 15 мм стекло, а доставка больших и тяжёлых стёкол из столицы сопряжена с целым рядом сложностей. Намного удобнее было бы воспользоваться триплексом местного производства толщиной 8+8 мм.

Для начала давайте выясним, насколько прочную связь между стёклами обеспечивает поливинилбутиральная (PVB) плёнка, которую обычно используют на производстве. Действительно, PVB обладает превосходной адгезией к стеклу, причем связь эта формируется на молекулярном уровне. Но вместе с тем полимер является сравнительно мягким, эластичным материалом. При длительной нагрузке (а давление воды — это постоянная нагрузка на годы) плёнка PVB «ползёт» и почти не передаёт сдвигающие усилия между стёклами. В результате два стекла внутри аквариума будут работать почти независимо друг от друга.

Есть ещё один момент, на который нужно обращать внимание. Пленка PVB чувствительна к влаге. Если торец триплекса не герметизирован, со временем возможна деламинация (отслоение).

Добавим немного математики. Сравним жёсткость монолитного стекла и триплекса такой же толщины.

• Одно стекло толщиной $t$ имеет жёсткость пропорциональную $t^3$.
• Два независимых стекла толщиной $t/2$ каждое имеют суммарную жёсткость $2 \times (t/2)^3 = t^3 / 4$

Таким образом, при одинаковой общей толщине два независимых слоя дают примерно четверть изгибной жёсткости монолитного стекла. Иными словами, такая конструкция будет примерно в четыре раза более податливой на изгиб.

То же самое относится и к напряжению внутри стекол.

При длительной нагрузке напряжение в каждом слое триплекса выше, чем в монолитном стекле той же толщины (из-за того, что слои работают раздельно). Поэтому первая трещина в одном из стёкол триплекса появляется при меньшем давлении воды, чем разрушение монолитного стекла.

Впрочем, у триплекса есть один положительный момент: он гораздо безопаснее. После появления трещины осколки держатся на плёнке и течь может начаться постепенно. Ну или, по крайней мере, не сразу.

Отсюда вывод:

• Если важна именно жёсткость и максимальное сопротивление давлению до появления трещины — лучше применять обычное толстое сырое стекло.
• Если важнее безопасность при возможном разрушении — триплекс предпочтительнее, несмотря на больший прогиб и меньшую прочность.

А теперь давайте пойдём ещё дальше и проведем полный анализ, сравнив величину прогиба и напряжение для стенки аквариума, размером 1200 х 1000, изготовленной из:

1. монолитного стекла 15 мм
2. триплекса 8+8 мм
3. триплекса 10+10 мм

Имеем исходные данные:

• Размер панели: 1200 мм (длина) × 1000 мм (высота)
• Соотношение сторон L/H = 1,2
• Давление воды у дна: p = 9,81 кПа = 0,00981 Н/мм²
• Модуль упругости стекла E = 70,000 МПа
• Для длительной нагрузки (вода) принимаем расчётное сопротивление сырого стекла ≈ 20–25 МПа (с учётом полировки кромок и длительности). Для оценки запаса будем использовать 25 МПа как рабочий предел.

Коэффициенты для пластины с гидростатической нагрузкой (четыре опоры) при L/H = 1,2:

• β (для напряжения) ≈ 0,27
• α (для прогиба) ≈ 0,077

Стандартные формулы для аквариумных расчётов:

Максимальное напряжение (приближённо):

$$\sigma \approx \beta \cdot \frac{p \cdot H^2}{t^2}$$

Прогиб в центре:

$$\delta = \alpha \cdot \frac{p \cdot H^4}{E \cdot t^3}$$

Вариант 1. Монолит 15 мм

Толщина t=15 мм

Напряжение:

$$\sigma \approx 0{,}27 \cdot \frac{0{,}00981 \cdot 1000^2}{15^2} \approx \mathbf{11{,}8\ \text{МПа}}$$

Запас прочности ≈ 2,1

Прогиб:

$$\delta \approx 0{,}077 \cdot \frac{0{,}00981 \cdot 1000^4}{70000 \cdot 15^3} \approx \mathbf{3{,}2\ \text{мм}}$$

Оценка:
Напряжение умеренное, но запас прочности низковат для силикатного стекла (желательно ≥ 3,5–4). Прогиб заметный (примерно 1/310 от высоты) — допустим, но на грани.

Вариант 2. Триплекс 8 + 8 мм

При длительной нагрузке PVB-плёнка почти не работает на сдвиг → два стекла работают независимо. Каждое стекло толщиной 8 мм несёт примерно половину нагрузки.

Эффективная жёсткость ≈ $2 \times (8)^3 = 1024$, в то время как у монолита 15 мм — $15^3 = 3375$. Т.о. триплекс примерно в 3,3 раза гибче.

Напряжение в каждом слое (примерно):

$$\sigma \approx 0{,}27 \cdot \frac{0{,}00981 \cdot 1000^2}{8^2} \times 0{,}5 \approx \mathbf{20{,}7\ \text{МПа}}$$

Запас прочности≈ 1,2 (критично!)

Прогиб≈10,5 мм

Оценка:
Слишком большое напряжение и огромный прогиб. Высокий риск появления трещины в одном из слоёв. Не рекомендуется.

Вариант 3. Триплекс 10 + 10 мм

Аналогично — два независимых стекла по 10 мм.

Напряжение в каждом слое:

$$\sigma \approx 0{,}27 \cdot \frac{0{,}00981 \cdot 1000^2}{10^2} \times 0{,}5 \approx \mathbf{13{,}2\ \text{МПа}}$$

Запас прочности ≈ 1,9

Прогиб≈5,4 мм

Оценка:
Лучше, чем 8+8, но всё равно запас прочности недостаточный, прогиб заметный. Безопасность после разрушения высокая, но до первой трещины конструкция слабее монолита 15 мм.

Сравнение вариантов

Делаем окончательные выводы:

• Лучший по прочности и жёсткости — монолит 15 мм. Он имеет наименьший прогиб и наибольший запас прочности
• Триплекс 10+10 мм — компромиссный вариант. Прочнее 8+8, но всё равно слабее монолита 15 мм по сопротивлению первой трещине. Главное преимущество — безопасность, при трещине в одном слое второй слой и плёнка какое-то время (возможно) будут удерживать воду.
• Триплекс 8+8 мм — не подходит. Слишком большие напряжения и прогиб.

Вообразите себе кубический аквариум без рёбер жёсткости, со сторонами, каждая из которых равна трем метрам, а объем составляет двадцать семь тонн. Какой толщины стекло понадобится для его изготовления?

Оказывается, в теории для такого аквариума хватило бы стекла толщиной 3 мм. И даже с десятикратным запасом прочности. Только понадобился бы еще надежный металлический каркас по периметру, иначе его просто разорвет по шву — ни один силиконовый герметик не выдержит такую нагрузку.

И это вовсе не шутка. Дело в том, что теоретическая прочность на растяжение идеального бездефектного силикатного стекла очень высока — в среднем около 15000 МПа, но реальная (техническая) прочность обычного листового стекла ниже в сотни раз и на практике не превышает 30 МПа. Объясняется эта разница теорией Гриффитса. Можете загуглить, если интересно, но смысл таков: стекло разрушается из-за микротрещин и дефектов, которые концентрируют напряжения.

Качество поверхности и кромок — это основной фактор, влияющий на прочность стекла. Царапины, микротрещины, сколы и загрязнения на поверхности резко снижают прочность.

Из прочих влияющих на прочность факторов можно выделить:

• Так называемый, эффект масштаба. Чем больше лист стекла, тем ниже его средняя прочность на изгиб и удар (при одинаковой толщине и обработке). И наоборот — маленькие образцы оказываются прочнее. Поэтому при испытаниях на изгиб большой лист часто ломается при меньшей нагрузке, чем маленький образец того же типа стекла. Это классический статистический эффект (описывается теорией Вейбулла), который очень ярко проявляется именно в стекле, керамике и других хрупких материалах. Чем больше поверхность или объём стекла, подвергаемый растягивающим напряжениям, тем выше вероятность наличия критического дефекта, тем ниже ожидаемая прочность.
• Статическая усталость. Стекло «устаёт» со временем. Нагруженное на 30–50% от своей кратковременной прочности, оно может разрушиться не сразу, а через годы. Это явление называют также «задержанное разрушение»
• Длительное хранение, продолжительная транспортировка также увеличивают дефектность стекла. Влажная среда способствует росту микротрещин. В присутствии влаги (водяного пара из воздуха) на вершине трещины идёт химическая реакция (стресс-коррозия). Вода разрывает связи Si–O в стекле, особенно под напряжением, трещина медленно растёт и постепенно достигает критического размера.

По пределу прочности стекла можно разделить на следующие группы. В порядке возрастания:

1. Обычное силикатное стекло. Расчетная прочность на изгиб: 15-30 МПа.
2. Термоупрочнённое стекло. Прочность: 30-50 МПа
3. Закаленное стекло. Прочность: 50-100 МПа.

Кстати, описанный ранее трехметровый аквариум, в реальных условиях пришлось бы делать из силикатного стекла, толщиной 80 мм. При такой толщине масса каждого из четырех вертикальных стекол составила бы 1800 кг, а максимальный прогиб в верхней части каждого стекла — 2,5 мм.

Всякий, кому хотя бы раз приходилось самостоятельно клеить аквариум, наверняка задавался вопросом, как правильно следует располагать боковые стёкла относительно дна: вокруг или сверху?

Зарубежные производители в своем подавляющем большинстве выбирают вариант «вокруг». По такой схеме склеены практически все крупные объёмы. Второй способ «сверху» тоже имеет место в заводском производстве. Но его используют только для маленьких аквариумов, объёмом менее ста литров.

В чём же принципиальная разница между этими методами склейки, и какой из них является более надежным? Ответ на этот вопрос был мною получен во время измерения на самодельном тестовом стенде предела прочности силиконовых аквариумных герметиков различных марок. Эти параметры понадобились мне для точных расчётов прогиба аквариумного стекла в программе Solidworks.

Испытания образцов показали, что у силиконового герметика предел прочности на сдвиг примерно в шесть раз меньше предела прочности на растяжение (на разрыв). Когда стёкла выставлены вокруг дна, силиконовый герметик работает на растяжение, а когда стёкла стоят на дне, герметик работает на сдвиг. Соответственно первая схема является намного более надежной.

Так что импортные производители поступают вполне разумно, выставляя стёкла своих аквариумов вокруг дна при сборке. Что же касается небольших объёмов, склеенных методов «сверху», то причина здесь кроется в удобстве массовой склейки маленьких банок. Надежность в этом случае не является приоритетом, ведь нагрузка на клеевой шов невелика, поэтому ею вполне можно пожертвовать в пользу технологичности.

Всё вышесказанное, само собой относится и к рёбрам жёсткости, которые мастера иногда приклеивают сверху банок. Выигрывая в удобстве склейки, они очень сильно теряют в надёжности.